Ph��ng tr?nh l�?ng gi�c l� m?t d?ng th�?ng g?p trong c�c �? thi �?i h?c. �� l� m?t d?ng to�n m� kh�ng ph?i h?c sinh n�o khi g?p ph?i c?ng l�m t?t ��?c, �?c bi?t nh?ng h?c sinh trung b?nh, y?u k�m th? r?t l�ng t�ng v� g?p kh� kh�n khi g?p d?ng to�n n�y. Trong qu� tr?nh gi?ng d?y, c�ng t�c t?i tr�?ng THPT Nguy?n B?nh Khi�m ch�ng t�i th?y c?n thi?t ph?i bi�n so?n chuy�n �? �PH��NG TR?NH L�?NG GI�C� nh?m h? th?ng c�c ki?n th?c c� b?n, c�c d?ng b�i t?p th�?ng g?p v� n�ng cao v? ph��ng tr?nh l�?ng gi�c �? l�m t�i li?u cho gi�o vi�n gi?ng d?y v� cung c?p m?t l�?ng l?n b�i t?p cho h?c sinh t? h?c.
A. C�NG TH?C L�?NG GI�C
1. C�ng th?c l�?ng gi�c c� b?n
2. Gi� tr? l�?ng gi�c c?a c�c cung c� li�n quan �?c bi?t
a. Cung �?i: 
b. Cung b�: 
c. Cung ph?: 
d. Cung h�n k�m 
3. C�ng th?c c?ng
4. C�ng th?c nh�n ��i
5. C�ng th?c h? b?c
6. C�ng th?c t�nh theo 
7. C�ng th?c nh�n ba
8. C�ng th?c bi?n �?i t?ng th�nh t�ch
9. C�ng th?c bi?n �?i t�ch th�nh t?ng
10. B?ng gi� tr? l�?ng gi�c c?a c�c cung �?c bi?t
Ch� ?:
� C�ng th?c �?i t? �? sang radian v� ng�?c l?i: 
B. PH��NG TR?NH L�?NG GI�C C� B?N
1. Ph��ng tr?nh 
: Ph��ng tr?nh v� nghi?m � 
� 
� 
T?ng qu�t: 
* C�c tr�?ng h?p �?c bi?t
V� d? 1: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
2. Ph��ng tr?nh 
: Ph��ng tr?nh v� nghi?m � 
� 
� 
T?ng qu�t: 
* C�c tr�?ng h?p �?c bi?t
V� d? 2: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
3. Ph��ng tr?nh 
T?ng qu�t: 
V� d? 3: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
4. Ph��ng tr?nh 
T?ng qu�t: 
V� d? 4: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
B�i t?p �? ngh?:
B�i 1: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13)
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
B�i 2: T?m 
sao cho: 
. B�i 3: T?m 
sao cho:
.
C. M?T S? PH��NG TR?NH L�?NG GI�C TH�?NG G?P
1. Ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c:
1.1. �?nh ngh?a: ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c l� ph��ng tr?nh c� d?ng 
trong �� a, b l� c�c h?ng s? 
v� t l� m?t trong c�c h�m s? l�?ng gi�c. 1.2. Ph��ng ph�p: ��a v? ph��ng tr?nh l�?ng gi�c c� b?n.
V� d? 5: Gi?i c�c ph��ng tr?nh
Gi?i
1.3. Ph��ng tr?nh ��a v? ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c:
V� d? 6: Gi?i ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
B�i t?p �? ngh?: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
29) 
30) 
2. Ph��ng tr?nh b?c hai �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c:
2.1. �?nh ngh?a: Ph��ng tr?nh b?c hai �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c l� ph��ng tr?nh c� d?ng 
, trong �� a, b, c l� c�c h?ng s? v� t l� m?t trong c�c h�m s? l�?ng gi�c.
2.2. Ph��ng ph�p: �?t ?n ph? t l� m?t trong c�c h�m s? l�?ng gi�c ��a v? ph��ng tr?nh b?c hai theo t, gi?i t?m t, ��a v? ph��ng tr?nh l�?ng gi�c c� b?n (ch� ? �i?u ki?n 
n?u �?t t b?ng sin ho?c cos).
V� d? 7:
a) 
b) 
Gi?i
�?t 
, �i?u ki?n 
. Ph��ng tr?nh (1) tr? th�nh: V?i t=1, ta ��?c 
�?t 
, �i?u ki?n . Ph��ng tr?nh (2) tr? th�nh: V?i 
ta ��?c 
2.3. Ph��ng tr?nh ��a v? ph��ng tr?nh b?c hai �?i v?i m?t h�m s? l�?ng gi�c:
V� d? 8: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
Gi?i
*) Gi?i ph��ng tr?nh:
*) Gi?i ph��ng tr?nh: 
V? 
n�n ph��ng tr?nh 
v� nghi?m. K?t lu?n: v?y nghi?m c?a ph��ng tr?nh �? cho l� 
�i?u ki?n: 
v� 
Khi ��: 
�?t 
ta gi?i ph��ng tr?nh b?c hai theo t: 
�..
B�i t?p �? ngh?: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
31) 
32) 
33) 
34) 
35) 
36) 
37) 
38) 
39) 
40) 
41)
; 42) 
43) 
44) 
45)
; 46) 
B�i 47. Ch?ng minh r?ng ph��ng tr?nh: 
lu�n c� nghi?m v?i m?i m.
B�i 48. Cho ph��ng tr?nh: 
a)Gi?i pt khi 
. b)T?m m �? ph��ng tr?nh c� nghi?m tr�n 
. B�i 49 : Cho ph��ng tr?nh 
a)Gi?i ph��ng tr?nh khi m = 2.
b)X�c �?nh m �? ph��ng tr?nh c� ��ng 4 nghi?m thu?c kho?ng 
3. Ph��ng tr?nh �?ng c?p b?c hai, b?c ba �?i v?i sinx v� cosx
3.1. �?nh ngh?a: Ph��ng tr?nh �?ng c?p b?c hai �?i v?i sinx v� cosx l� ph��ng tr?nh c� d?ng 
3.2. Ph��ng ph�p:
C�ch 1:
Ki?m tra 
c� l� nghi?m kh�ng, n?u c� th? nh?n nghi?m n�y. 
chia c? hai v? cho 
��a v? ph��ng tr?nh b?c hai theo 
: C�ch 2: S? d?ng c�ng th?c h? b?c v� c�ng th?c nh�n ��i ��a v? ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i cos 2x v� sin 2x
*M?t s? tr�?ng h?p �?c bi?t l� khi a = 0 ho?c c = 0 ��a ph��ng tr?nh v? d?ng t�ch
V� d? 9: Gi?i ph��ng tr?nh sau
a) 3sin2x- 
sinxcosx+2cos2x cosx=2 b) 4 sin2x+3sinxcosx-2cos2x=4 c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0
d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ )cos2x-5-=0 V� d? 10: Gi?i ph��ng tr?nh sau
a) sinx- 4sin3x+cosx=0
b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0
c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)
V� d? 11: Gi?i ph��ng tr?nh sau
a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
c) 2 cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx
e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x-
/4)=
sinx B�i t?p �? ngh?:
50) 
51) 
52) 
53) 
54) 
55) 
. 56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57) 
58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 59) 
60) 
61) 
62) 
63) 
64) 
4. Ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i sin x v� cos x
4.1. �?nh ngh?a: Ph��ng tr?nh b?c nh?t �?i v?i sin x v� cos x l� ph��ng tr?nh c� d?ng 
trong �� 
v� 
V� d? 12: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau: 
4.2. Ph��ng ph�p: Chia hai v? ph��ng tr?nh cho 
ta ��?c: � N?u 
: Ph��ng tr?nh v� nghi?m. � N?u 
th? �?t 
( ho?c 
) ��a ph��ng tr?nh v? d?ng: 
(ho?c 
) sau �� gi?i ph��ng tr?nh l�?ng gi�c c� b?n.
Ch� ?: Ph��ng tr?nh 
trong �� 
v� 
c� nghi?m khi 
. V� d? 13: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
a) 
b) 
B�i t?p �? ngh?: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
65) 
66) 
67) 
68) 
69) 
70) 
71) 
72) 
73) 
74) 
75) 
76) 
78) 
79) 
80) 
81)
82) T?m m �? pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 c� 2 nghi?m.
83) T?m m �? pt : (2m � 1)sinx + (m � 1)cosx = m � 3 v� nghi?m.
5. Ph��ng tr?nh �?i x?ng
5.1 Ph��ng tr?nh �?i x?ng lo?i 1
C�ch gi?i: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c �?t t = sin x+cosx 
V� d? 14 : Gi?i c�c ph��ng tr?nh l�?ng gi�c sau :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 1+tanx=2sinx + 
10. sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 11. (1+sin x)(1+cosx)=2 12. 1+sin3 2x+cos32 x=
sin 4x . 13. sinxcosx+
=1 B�i t?p �? ngh?
84. 
85. 
86. 
87. 
88. 
89. 
B�i 90 : Cho ph��ng tr?nh 
. X�c �?nh m �? ph��ng tr?nh c� nghi?m.
5.2 Ph��ng tr?nh �?i x?ng lo?i 2
C�ch gi?i:
a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c �?t t= sin x- cosx 
at + b
=c 
bt2 -2at+2c-b=0. V� d? 15 : Gi?i c�c ph��ng tr?nh l�?ng gi�c sau :
1. 1- sin3x+cos3x= sin2x 2. 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
3. 
4. 
5. 
5.3 Ph��ng tr?nh �?i x?ng v?i tanx v� cotx
C�ch gi?i: �?t t = tanx +cotx �i?u ki?n 
. ��a v? ph��ng tr?nh ch? c� ?n t. B�i t?p �? ngh?
91. 
92. 
93. 
94. 
95. Cho ph��ng tr?nh 
. X�c �?nh m �? ph��ng tr?nh c� nghi?m.
D. PH�N LO?I B�I T?P PH��NG TR?NH L�?NG GI�C THEO C�C D?NG.
1. S? d?ng c�ng th?c h? b?c
cos2x= 
; sin2x= 
cos3x= 
; sin3x= 
B�i t?p
1. cos4x-5sin4x=1
2. 4sin3x-1=3-cos3x 3.sin22x+ sin24x= sin26x
4. sin2x= cos22x+ cos23x
5. 
6. 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3 7. 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x
8. cos4xsinx- sin22x=4sin2(
)-
v?i 
<3 9. 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0
10. sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x
11. 8cos3(x+
)=cos3x 12.cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x
13. 
=1 14. cos7x+ sin22x= cos22x- cosx
15. sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2
16. 3cos4x-2 cos23x=1
2 . S? d?ng c�c h?ng �?ng th?c
B�i t?p. Gi?i c�c ph���ng tr?nh sau
1) sin4
+cos4=1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3) cos3x+ sin3x= cos2x 4) 
5) cos6x-sin6x=
cos22x 6) sin4x+cos4x=
7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx
9) cos6x+sin6x=cos4x 11) cos8x+sin8x= 
10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x
12) (sinx+3)sin4-(sinx+3) sin2+1=0
3.Gi?i ph��ng tr?nh l�?ng gi�c ��a v? d?ng t�ch
B�i t?p. Gi?i c�c ph���ng tr?nh sau:
1) cos2x- cos8x+ cos4x=1
2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2
4) sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0
5) 3sinx+2cosx=2+3tanx
7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4
8) 
9) 2cos2x-8cosx+7=
10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+
cosx
11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
14) 2sin3x-
=2cos3x+
15) cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17) tanx�sin2x-cos2x+2(2cosx-
)=0 18)sin2x=1+cosx+cos2x 19) 1+cot2x=
20) 2tanx+cot2x=2sin2x+
21) cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22) 1+tanx=sinx+cosx 23) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
26) cotx-tanx=cosx+sinx 27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
4. S? d?ng c�ng th?c nh�n ��i.
* cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x
sin2x=2sinxcosx
tan2x=
* sinx =
; cosx=
tanx=
(tan 
=t) B�i t?p. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) sin3xcosx=
+ cos3xsinx 2) cosxcos2xcos4xcos8x=
3) tanx+2cot2x=sin2x 4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x
5) sin4x=tanx 6) sin2x+2tanx=3
7) sin2x+cos2x+tanx=2 8) cotx=tanx+2cot2x 9) tan2x+sin2x=cotx 10) (1+sinx)2= cosx 5. Gi?i ph�����ng tr?nh LG b?ng c�ch th?c hi?n ph�p bi?n �?i t?ng th�nh t�ch v� t�ch th�nh t?ng
B�i t?p. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3)
th?a m?n 
4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 5) sin5x+ sinx+2sin2x=1 6) 
7) tanx+ tan2x= tan3x 8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
6. Gi?i PT LG b?ng ph��ng ph�p �?t ?n ph? g�c A ho?c �?t h�m B
B�i t?p. Gi?i ph������ng tr?nh
1/ sin(
)=
sin(
) 2/ sin(
)=sin2x sin(
) 5/ cos(
)=sin(4x+3) 6/ 3cot2x+2sin2x=(2+3)cosx 7/2cot2x+
+5tanx+5cotx+4=0 8/ cos2x+
=cosx+
9/sinx- cos2x+
+2
=5
7. Gi?i ph�����ng tr?nh LG b?ng c�ch th?c hi?n c�c ph�p bi?n �?i ph?c t?p
B�i t?p. Gi?i c�c ph������ng tr?nh
1/
2/ cos
=1 3/
+2sinx=0 4/ 3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 5/
6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx=
7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x)
10/ 
11/cos2
-1=tan2
12/ 
8. Ph��ng tr?nh l�?ng gi�c c� c�ch gi?i kh�ng m?u m?c
8.1.Ph��ng ph�p t?ng b?nh ph��ng.
Ph��ng ph�p n�y nh?m bi?n �?i ph��ng tr?nh l�?ng gi�c v? d?ng m?t v? l� t?ng b?nh ph��ng c�c s? h?ng (hay t?ng c�c s? h?ng kh�ng �m) v� v? c?n l?i
b?ng kh�ng v� �p d?ng t�nh ch?t:
V� d? 1. Gi?i ph��ng tr?nh:GI?I
�S 
V� d? 2: Gi?i ph��ng tr?nh:
(1)
GI?I
Ta c� (1) 
Ph��ng tr?nh v� nghi?m.
V� d? 3: Gi?i ph��ng tr?nh: 
GI?I
Ta c�: 
(1)V? 
V� 
Do �� (1) 
8.2. Ph��ng ph�p �?i l?p
Ph��ng ph�p n�y ��?c x�y d?ng tr�n t�nh ch?t: �? gi?i ph��ng tr?nh 
, ta c� th? ngh? �?n vi?c ch?ng minh t?n t?i A
R: 
v� 
th? khi ��: N?u ta ch? c� 
v� 
, 
th? k?t lu?n ph��ng tr?nh v� nghi?m. V� d?1 . Gi?i ph��ng tr?nh: 
GI?I
V? 
n�n 
m� 
Do 
v� 
n�n ph��ng tr?nh v� nghi?m. V?y ph��ng tr?nh �? cho v� nghi?m.
V� d? 2. Gi?i ph��ng tr?nh:
(1)GI?I
(1) 
(2) Ta th?y 
M� 
Do �� (2)
V?y nghi?m c?a ph��ng tr?nh l�: 
�p d?ng ph��ng ph�p �?i l?p, ta c� th? suy ra c�ch gi?i nhanh ch�ng nh?ng ph��ng tr?nh l�?ng gi�c ? c�c d?ng �?c bi?t d�?i ��y:
� 
� 
C�ch gi?i t��ng t? cho c�c ph��ng tr?nh thu?c d?ng:
8.3. Ph��ng ph�p �o�n nh?n nghi?m v� ch?ng minh t�nh duy nh?t c?a nghi?m
Tu? theo d?ng v� �i?u ki?n c?a ph��ng tr?nh, ta t�nh nh?m m?t nghi?m c?a ph��ng tr?nh, sau �� ch?ng t? nghi?m n�y l� duy nh?t b?ng m?t trong nh?ng c�ch th�ng s?ng sau:
� D�ng t�nh ch?t �?i s?
� �p d?ng t�nh ��n �i?u c?a h�m s?
Ph��ng tr?nh 
c� 1 nghi?m 
v� h�m 
��n �i?u trong 
th? c� nghi?m duy nh?t l� 
. Ph��ng tr?nh c� 1 nghi?m 
, 
t�ng (gi?m) trong , 
gi?m (t�ng) trong th? ph��ng tr?nh c� nghi?m l� duy nh?t. V� d? 1 : Gi?i ph��ng tr?nh:
v?i 
GI?I
Ta th?y ngay ph��ng tr?nh c� 1 nghi?m 
. �?t 
l� bi?u th?c c?a h�m s? c� �?o h�m 
(v? 
) H�m lu�n ��n �i?u t�ng trong 
c� 1 nghi?m duy nh?t trong V?y ph��ng tr?nh �? cho c� 1 nghi?m duy nh?t . V� d? 2 . Gi?i ph��ng tr?nh:
v?i 
Gi?i
D? th?y ph��ng tr?nh c� 1 nghi?m �?t 
li�n t?c tr�n 
C� �?o h�m: 
do 
��n �i?u t�ng tr�n V?y ph��ng tr?nh c� nghi?m duy nh?t x = 0.
8.4 S? d?ng c�c b?t �?ng th?c
V� d? 1 : Gi?i ph��ng tr?nh:
V� d? 2: Gi?i ph��ng tr?nh:
(1)GI?I
�i?u ki?n: 
Khi �� (1) 
V? 
D?u b?ng x?y ra 
V?y ph��ng tr?nh (1) v� nghi?m.
B�i t?p �? ngh?
B�i 1: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
3) 
4) 
B�i 2: Gi?i ph��ng tr?nh:
1) 
2) cos3x+
=2(1+sin22x) 3) 2cosx+sin10x=3+2sinxcos28x 4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 5) 8cos4xcos22x+
+1=0 6) 
7) 1 - 
=cosx 8) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 9)
E- C�C B�I T?P T?NG H?P
B�i 1. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 
2) tan2x - tanxtan3x = 2
3) 
= 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x
5) tanx + cotx = 4
6) 
+ 2cosx = 0 7) 2tanx + cotx = 
8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
10) 
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 
12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
13) sin2xcosx = 
+ cos3xsinx 14) sin6x + cos6x = cos4x
15) sin4x + cos4x = 
cot(x + 
)cot(
- x) 16) 
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 2sin3x - 
= 2cos3x + 
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 
20) 
(tanx + cotx) 21) 1 + tanx = 2
sinx 22) cosx - sinx = cos3x 23) 
24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
25) 2sin(3x + 
) = 
B�i 2. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
4) 
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 
B�i 3. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) 
2) 
3) 
4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 
8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx
B�i 4. Gi?i ph��ng tr?nh l�?ng gi�c
1) cosx + 
sinx = 3 - 
2) 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x 3) cos7xcos5x - sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1)
5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x 7) sin2x + cos2x = 8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 9) cos2x - sin2x = 1 + sin2x
B�i 5. Gi?i c�c ph��ng tr?nh
1) sin3x - 
sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = 
cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
4) cosxcos
cos
- sinxsinsin = 5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x
11) 
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
13) cos4 - sin4 = sin2x 14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x = 
(cosx - sinx) 26) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx
B�i 6. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) 
= cos2x + sin2x v?i 0 < x < 2p 2) sin(2x + 
) - 3cos(x - 
) = 1 + 2sinx v?i 
< x < 3p
B�i 7. Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) 
2)
3)
4)
5)
6) 
7)
8)
9)
10)
11)
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
B�i 8: T?m nghi?m tr�n kho?ng 
c?a ph��ng tr?nh:
B�i 9: Gi?i ph��ng tr?nh:
1) 
2)
3)
4) 
B�i 10: Gi?i c�c ph��ng tr?nh sau:
1) 
2) 9sinx + 6cosx � 3sin2x + cos2x = 8
3) 
B�i 11: T?m nghi?m c?a ph��ng tr?nh: 
tho? m?n : 
B�i 12: Gi?i ph��ng tr?nh.: 
B�i 13: Gi?i ph��ng tr?nh: 4cos4x � cos2x 
= 
B�i 14: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 15: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 16: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 17: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 18: Gi?i ph��ng tr?nh: cos2x + cosx + sin3x = 0
B�i 19: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 20: T?m t?ng t?t c? c�c nghi?m x thu?c [ 2; 40] c?a ph��ng tr?nh:
sinx � cos2x = 0.
B�i 21: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 22: Gi?i ph��ng tr?nh : 
. B�i 23: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 24: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 25: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 26: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 27: Gi?i ph��ng tr?nh : 
B�i 28: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 29: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 30: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 31: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 32: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 33: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 34: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 35: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 36: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 37: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 38: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 39: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 40: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 41: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 42: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 43: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 44: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 45: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 46: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 47: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 48: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 49: Gi?i ph��ng tr?nh : 
B�i 50: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 51: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 52: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 53: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 54: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 55: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 56: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 57: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 58: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 59: Gi?i ph��ng tr?nh: 
= 
. B�i 60: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 61: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 62: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 63: T?m nghi?m c?a ph��ng tr?nh: 
, bi?t 
. B�i 64: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 65: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 66: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 67: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 68: Gi?i ph��ng tr?nh 
. B�i 69: Gi?i ph��ng tr?nh: 
. B�i 70: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 71: T?m nghi?m x 
c?a ph��ng tr?nh 5cosx + sinx - 3 = 
sin
. B�i 72: Gi?i ph��ng tr?nh: 
B�i 73: Gi?i ph��ng tr?nh: 
F. �? THI TUY?N SINH �?I H?C CAO �?NG QUA C�C N�M
1) Gi?i ph��ng tr?nh: 5
= cos2x + 3 (Kh?i A-02) 2) T?m c�c nghi?m thu?c [0; 14] c?a ph��ng tr?nh:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 (Kh?i D-02)
3) Gi?i ph��ng tr?nh: cotx - 1 = 
+ sin2x - sin2x (Kh?i A-03) 4) Gi?i ph��ng tr?nh: sin2( - 
)tan2x - cos2 = 0 (Kh?i D-03) 5) Gi?i ph��ng tr?nh: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x � sinx (Kh?i D-04)
6) Gi?i ph��ng tr?nh: cos23xcos2x - cos2x = 0 (Kh?i A-05)
7) Gi?i ph��ng tr?nh: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0 (Kh?i D-05) 8) T?m nghi?m tr�n kho?ng (0 ; p) c?a ph��ng tr?nh:
4sin2 - cos2x = 1 + 2cos2(x - 
) (Kh?i A-05 d? b? 1) 9) Gi?i pt: 2cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0 (Kh?i A-05 d? b? 2) 10) Gi?i pt: tan(
- x) + 
= 2 (Kh?i D-05 d? b? 1)
11) Gi?i pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 (Kh?i D-05 d? b? 2)
12) 
(Kh?i A - 2005) 13) 1+ sin x +cosx+sin 2x+ cos 2x =0 (Kh?i B - 2005)
14) Gi?i pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 
(Kh?i A�-06-d? b? 1) 15) Gi?i pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 (Kh?i A�-06-d? b? 2)
16) Gi?i pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 (Kh?i B-06-d? b? 1)
17) Gi?i pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 (Kh?i B-06-d? b? 2)
18) Gi?i pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 (Kh?i D-06-d? b? 1)
19) Gi?i pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 (Kh?i D-06)
20) Gi?i pt:
(Kh?i D - 2005) 21) Gi?i pt: 
(Kh?i A - 2006) 22) Gi?i pt: 
(Kh?i B - 2006) 23) Gi?i pt:
(Kh?i D - 2006) 24) Gi?i pt (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x (Kh?iA-07)
25) Gi?i ph��ng tr?nh: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx (Kh?i B-07)
26) Gi?i ph��ng tr?nh: 
(Kh?i D � 2007) 27) Gi?i ph��ng tr?nh: 2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1) (C�-07) 28)
(Kh?i A � 2007) 29) 
(Kh?i B � 2007) 30) Gi?i ph��ng tr?nh: 
(Kh?i A-08) 31) Gi?i ph��ng tr?nh: sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx (Kh?i B-08) 32) Gi?i ph��ng tr?nh: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (Kh?i D-08)
33) Gi?i pt: sin3x - cos3x = 2sin2x ( C�-08)
34) Gi?i pt:
(Kh?i A � 2008) 35) Gi?i pt:
(Kh?i B � 2008)
36) Gi?i pt:
(Kh?i D � 2008)
37)
(Kh?i A � 2009) 38) 
(Kh?i B � 2009) 39)
(Kh?i D � 2009) 40)
(Kh?i A � 2010) 41) 
(Kh?i B � 2010) 42) 
(Kh?i D � 2010) 43)
(Kh?i A - 2011) 44) 
(Kh?i B - 2011) 45)
(Kh?i D - 2011) 46)
(Kh?i A v� A1 - 2012) 47) 
(Kh?i B - 2012) 48) 
(Kh?i D - 2012) 49) 
(Kh?i A- A1 � 2013) 50) 
(Kh?i B - 2013) 51) 
(Kh?i D - 2013) 52) 
(Kh?i A- A1 - 2014) 53)
(Kh?i B - 2014)
?ng v?i 
.
; 
=c 
=
25) 2tanx+cotx=
+2
=3 4/ cosx-2sin(
)=3
hay 
v� 
2) 
v?i 
+ cos4
